Costa Rica, Domingo 8 de junio de 2008

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Matemáticas

El genio del cuadrado mágico

  Reto mental El legendario matemático suizo Leonhard Euler fue el precursor del sudoku

Luis Valverde Fallas | lvalverde@uam.ac.cr

Una extraña historia une viejas creencias místicas, la vida de un apacible genio matemático y un juego que apasiona al mundo: el sudoku.

El 15 de abril 1707, en el hogar de un clérigo, en los alrededores de Basilea (Suiza), nació Leonhard Euler, considerado el matemático más prolífico pues su obra se aproxima al millar de títulos, incluidos libros y artículos. Se han recopilado 866 trabajos suyos, dentro de los cuales existen aportaciones directas en matemáticas, astronomía, náutica, arquitectura, artillería, música y filosofía.

Euler contaba con una notable capacidad mental, lo que le facilitaba hacer cálculos aritméticos complejos; también le permitió sobrellevar su ceguera durante sus últimos 20 años sin interrumpir su trabajo.

La seriedad académica con que se desenvolvía este matemático en muchos campos científicos, no le impedía disfrutar de la teoría de los números y, en particular, de construir “cuadrados mágicos”.

¿Qué tenían de “mágicos” estos cuadrados para llamar la atención de este genio de las matemáticas?

Cuadrados mágicos. Las figuras “mágicas” tienen por objetivo colocar, en un cuadrado u otra figura, una sucesión de números que, sumados por filas o columnas, den un mismo resultado.

Las más antiguas noticias sobre cuadrados mágicos provienen de la China. Una leyenda cuenta que el primer cuadrado mágico fue revelado a un hombre por elcaparazón de una enorme tortuga que emergió de las aguas del río Lo, muchos años antes de Cristo.

Se tienen reportes del conocimiento del más místico de los cuadrados mágicos de los chinos, del siglo IV antes de Cristo. Se lo llamó lu shu y es un cuadrado de 3 x 3 casillas en las cuales los dígitos, colocados en cada fila, columna y diagonal, suman 15 (figura 1).

Los chinos dieron un entorno místico a esa figura pues asignaron, a los números, los principios básicos de la vida: los números pares simbolizaron el principio yin , de lo femenino, y los impares el principio yang, de lo masculino.

El centro del cuadrado es el equilibrio, que pertenece tanto a las filas y las columnas como a las diagonales. Simboliza la Tierra. En los lados se representan los cuatro elementos principales: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

Los cuadrados mágicos son una de tantas figuras de ese tipo.

La magia o el misticismo que cubrían esas figuras llegaron a niveles realmente sorprendentes; así, en los siglos XVI y XVII se creía que un cuadrado mágico grabado sobre una pequeña chapa de plata tenía poderes contra la peste.

En el Renacimiento se utilizaron cuadrados mágicos con fines terapéuticos. Por esto, como amuleto para ahuyentar la melancolía, los astrólogos de la época “recetaban” cuadrados mágicos de cuarto orden (de cuatro filas y cuatro columnas). Muestra de ello es la pintura del alemán Alberto Durero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en posición dominante en su grabado Melancolía (fig. 2) . Nótese el año de la obra: 1514.

‘Poderes’. Otros tipos de cuadrados mágicos no corrieron la misma suerte pues era de mal augurio estar en posesión de ellos. Algunos eran “diabólicos” pues, al intercambiar algunas filas o columnas, se mantienen sus propiedades.

Otros eran “satánicos” porque seguían siendo un cuadrado mágico cuando se elevaba cada uno de sus números al cuadrado o al cubo.

La estrella de David fue una figura que generó especial interés por sus asignadas “propiedades cabalísticas” (la figura 3 da siempre 26). Sin embargo, Euler no se interesó por esas figuras debido a sus presuntas cualidades místicas.

Su interés estaba en determinar figuras más genéricas. Para esto introdujo letras latinas en vez de números; con ello realizó un trabajo más algebraico que numérico. A estos los llamó ‘cuadrados latinos’ por el tipo de letra usada (fig. 4; al cambiarse las letras por números, se obtiene una suma igual).

Euler investigaba, y la gente hacía eco de sus resultados. Uno de los pasatiempos favoritos en la Europa del siglo XVIII derivó de aquellas investigaciones: un solitario de naipes (fig. 5). Euler lo definía así: “De una baraja se toman las cuatro figuras: sota, caballo, rey y as; se procura colocarlas en un cuadro de 4 x 4 de forma que en cada fila y columna haya solo una carta de cada valor y solo una de cada palo”.

El problema parece sencillo, pero no lo es pues involucra dos cuadrados mágicos sobrepuestos: uno con la figura y el otro con el palo. Al tipo de cuadrado que involucraba dos variables, Euler lo llamó ‘cuadrado greco-latino’ pues incluyó letras griegas y latinas en él.

Los estudios de Euler sobre cuadrados mágicos parecían no ir dirigidos a aplicaciones concretas, pero hoy se emplean cuadrados latinos en estadísticas, en el llamado ‘diseño de experimentos’.

Un ilustrativo ejemplo es el siguiente: “Se desea comparar la calidad de 4 tipos de llantas: A, B, C y D, para lo cual se decide colocarlas en los cuatro aros de un automóvil y usarlas durante cuatro meses por diferentes tipos de caminos. Al final se analizan las llantas para ver cuál tiene mejores condiciones”.

Es natural pensar que la ubicación de las llantas en el auto puede ocasionar un mayor desgaste en unas que en otras. Para obviar esto, se plantea el experimento de tal forma que cada llanta esté durante un mes en una ubicación diferente y se le mida su desgaste. Para ello se puede utilizar un cuadrado latino donde en cada medición mensual se determinen el desgaste de la llanta y el efecto de la ubicación de la llanta en su desgaste (fig. 6).

Hacia el sudoku. En los años 70, la revista neoyorquina Dell Magazines (Math Puzzles and Logic Problems ) revivió la magia de los cuadrados latinos proponiendo un pasatiempo que consiste en llenar un cuadrado de 9 x 9 casillas con números del 1 al 9, de tal forma que no se repitan en ninguna fila ni columna. La novedad consistió en establecer que cada uno de los 9 subcuadrados formados también contasen con los números del 1 al 9 (fig. 7).

En 1984, Nikoli, una compañía japonesa dedicada a la publicar pasatiempos, tomó la idea de Dell Magazines y la presentó como un rompecabezas. El juego fue bautizado Suuji Wa Dokushin Ni Kagiru ( Los números deben ser únicos ), y en muy poco tiempo se hizo popular en el Japón. Pronto llegaron las mejoras en la determinación del tipo y la cantidad de instrucciones requeridas para resolver el juego. Así, en 1986 se establecieron diferentes grados de dificultad, y el juego se tornó cada vez más popular.

El paso siguiente fue comercializar adecuadamente el juego, que fue de nuevo bautizado ‘sudoku’.

Ese término japonés involucra dos palabras: su (número o dígito) y doku (único). El éxito fue tal que hoy se calcula una publicación mensual de 600.000 ejemplares de revistas de sudoku en el Japón.

En el 2004 se creó un programa informático que genera sudokus. Fue un momento clave para el rompecabezas pues ahora se tienen grandes cantidades disponibles de sudokus de diferentes grados de dificultad: sudokus “a la medida” .

También en el 2004, The Times de Londres publicó su primer sudoku; pronto lo siguieron diarios de Gran Bretaña, Australia y Nueva Zelanda. En abril del 2005, el sudoku completó el círculo volviendo a Manhattan, cuyo New York Post lo publica habitualmente. El 11 de julio del 2005, The Daily News y USA Today colocaron simultáneamente su primer sudoku, que sustituyó a los crucigramas tradicionales.

La fiebre por el sudoku no tardó en llegar a Costa Rica pues, el 10 de octubre del 2005, la revista Viva, de La Nación, publicó su primer sudoku. Lo presentó con esta pregunta: “¿Qué tienen en común los periódicos Washington Post, El Nacional de Venezuela , El País de España , el Jerusalem Post de Israel , el Sunday Times de Sudáfrica y ahora La Nación de Costa Rica? ¡Que todos comparten el furor del sudoku!”.

Hoy se cuenta con sudokus en programas de computación, máquinas de bolsillo para niños y adaptaciones para casinos. Hay toda una “sudokumanía”. La publicidad de algunos juegos electrónicos de bolsillo ya anuncia que el sudoku –juego intelectual del momento– sirve para mejorar sustancialmente del mal de Alzheimer.

Como la imaginación no tiene límites, ya alguien creó un nuevo superhéroe llamado Supersudoku .

Supersudoku es un superhéroe calvo y pasado de peso que puede crear hasta cien sudokus en unos cuantos segundos. Su enemigo es el doctor Alzheimer, hombre apuesto de 70 años que seduce a las viejitas, les pone la mano en la frente y hace que pierdan la memoria”, dice su presentación.

Sin duda, este ingenioso juego ha revolucionado los pasatiempos.

Gran parte de la aceptación que ha tenido el juego reside en su apariencia simple y agradable: tan agradable como era Leonhard Euler, quien, a sus 77 años, en 1783, totalmente ciego, jugando con su nieto, soltó su pipa y dejó de calcular.

EL AUTOR ES RECTOR DE LA UNIVERSIDAD AMERICANA Y ENSEÑA RAZONAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO EN LA ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES DE LA UCR.

FOTOS

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Melancolía I (1514), detalle del grabado en cobre de Durero. Wikicommons para LN

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Retrato de Leonhard Euler (1707-1783), pintado por Johann Georg Brucker. Wikicommons

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Figura 1

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Figura 2

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Figura 3

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Figura 4

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Figura 5

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Figura 6

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Figura 7

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